Линия влияния изгибающего момента Mk, вывод и построение

Видео урок на тему: «Линия влияния изгибающего момента Mk, вывод и построение»



Напомним как строилась линия влияния для реакции опоры Ra

Нам задана балка, которая располагается на двух опорах. В пролете этих опор находится сечение К и сила F=1, которая будет перемещаться по длине балки от левой опоры к правой. Она равна единице.

построение линии влияния Ra

Рис.1 Схема перемещения силы F по балке для построения линий влияния RA и RB

В предположении, что эта сила перемещается мы и будем строить закон изменения момента в сечении К этот закон и есть — линия влияния изгибающего момента Mk, как ее еще обозначают л. в. Mk.  Т.е. линия, построенная для той величины, для которой она строится,  показывающая, как меняется эта величина при изменении положений нагрузки.

Для заданной схемы х пусть у нас располагается так, как на рисунке. Это у нас значение х. Сила меняет свое положение х от нуля до ℓ. Пусть размер слева будет а, размер же справа будет в. Вся длина балки ℓ. Дальше вспомним, что мы уже делали. Мы в предыдущих видео уроках построили линии влияния для реакций Rа и Rв.

Выглядят они так. На своей опоре, если это Rа, единица, на чужой опоре ноль. Соединяем эти точки прямой линией.

Линия влияния опорных реакций Ra и Rb

Рис.2 Линии влияния RA и RB

Тоже самое для линий влияния Rв, т.е. на своей опоре единица, а на чужой опоре ноль. Соединяем эти точки прямой линией. Нетрудно заметить, что при таком расположении х, эта величина изменяется как (х/ℓ).  Из подобия треугольников мы можем найти х — неизвестный катет. Составим пропорцию и найдем соотношение х/ℓ. Это выражение показывает, как меняется реакция Rа.

Вывод и построение правой ветви линии влияния изгибающего момента Mk

Из рисунка видно, что возможны только два варианта.

линия влияния изгибающего момента Mk - вывод линии влияния Мк, рисунок 1

Рис.3 Общий рисунок для вывода линии влияния MK

Первое, когда сила находится слева от сечения, второе — когда сила находится справа от сечения.

Рассматриваем вариант, когда сила F=1, находится справа от сечения. Почему же мы рассматриваем левую сторону? А потому что с левой стороны у нас действует только одна реакция RA слева от сечения К.

вывод линии влияния Мк, вывод уравнения для правой ветви линии влияния

Рис.4 Рисунок для вывода правой ветви линии влияния MK

Правую сторону рассматривать менее удобно, потому что тут действует и RB, и F. Рассматриваем левую часть, но когда сила F находится справа. Это важно для себя отметить. Дальше увидим почему.

Что значит рассматриваем левую часть? Мы рисуем до сечения К весь кусок слева вместе с  реакцией  RA, и расстояние от сечения К равняется а. Это изображено на рисунке 4.

Запишем чему будет равняться момент в этом сечении. Момент Мк будет равен RA умножить на а.

Mk = RA ⋅ a

Так как мы сказали, что линия влияния Rа  в сечении К равна х/ℓ, то перепишем снова это выражение, уже зная это значение: х/ℓ и умножить на а. Вот так выглядит линия влияния Мк для заданного отрезка балки.

Mk = (х/ℓ) ⋅ a

Тут еще важно напомнить, что у нас есть правило знаков для изгибающих моментов. Положительный момент будет, если балка изгибается таким образом, что растянутые волокна будут снизу, т.е. если смайлик улыбается.

правило знаков для изгибающего момента М+ - положительный момент

Рис.5 правило знаков для изгибающего момента «М+» — положительный момент

А отрицательный — смайлик грустный.

правило знаков для изгибающего момента "М-" - отрицательный момент

Рис.6 правило знаков для изгибающего момента «М-» — отрицательный момент

Поэтому момент будет со знаком плюс. Здесь мы  использовали правило знаков, т.е. RA умножить на a относительно точки K или сечения K изгибается так, как показано на рисунке.  Значит, это плюс.

Давайте построим линию влияния. Мы получили  х/ℓ умножить на а. Вот у нас линия, которая идет от нуля на опоре В. Линия влияния Rа должна просто умножаться на плечо а.

Берем линию влияния Rа умножаем на а, т.е добавляем к единице умножить на а. Вместо единицы написали 1·а и провели линию.

При этом мы вспоминаем о  том, что на самом деле, мы рассматривали кусочек, когда сила находилась справа. Т.е. х, который мы брали справа, изменялся от нуля до в (правая часть балки до сечения К).

Теперь при х равном нулю, мы получаем ноль. При х, равном в, мы получаем а·в/ℓ.

Мы опускаем перпендикуляр  и наводим только ту ветвь, где перемещалась сила. Т.е. правую ветвь линии влияния. Оставшийся кусок нам не нужен. Мы с другой стороны увидим, как выглядит закон изменения, линия влияния Мк.

Вывод и построение левой ветви линии влияния изгибающего момента Mk

Для того чтобы построить левую ветвь линии влияния изгибающего момента Мк, мы должны рассматривать силу F слева от сечения К, а удобнее, учитывая условие равновесия, рассматривать правую часть балки, где действует только одна сила Rв. Как и в прошлый раз. Мы получим Мк равно Rв умножить на в.

Правило знаков осталось то же самое, если балка изгибается так, что растянутые волокна снизу, т.е. так изгибается, как положительный смайлик, то плюс. Здесь плюс Rв умножить на в. Что мы дальше делаем? Мы расписываем Rв как было обозначено нами раньше, т.е. линия влияния Мк это зависимость  линии влияния Rв (ℓ- х)/ℓ и умножить на в.

Вот так выглядит линия влияния Мк для левой части балки (слева от сечения К). Чтобы было удобнее и понятнее, что мы получили, вот это выражение еще можно записать так, линия влияния Мк это — приводим к общему знаменателю, и получаем (ℓ-х)/ℓ и умножить на в.

Итак, х слева находится, т.е. когда х уже стал больше в, но еще до а+в только добирается. В этих пределах, слева от сечения К, мы рассматриваем это выражение.

Подставляем х=в. Линия влияния Мк при значении х=в:  (ℓ-в)/ℓ и умножить на в. Как видно из рисунка (ℓ-в) это и есть а. Т.е. а умножить на в и разделить на ℓ.

Мы получили значение вот здесь, при х равном в. Теперь пошли дальше, подставляем вместо х (а+в) или ℓ, и тогда линия влияния Мк при х равном ℓ, получим равную нулю.

Или, иначе говоря, если мы возьмем линию влияния Rв и умножим на значение в, то мы получим вот такую линию, как и в предыдущий раз (значение в).

Единственное, что нужно для себя отмечать, что мы рассматривали только левую часть и наводим мы только левую часть. Там, где х действует, т.е. сила F=1 слева от сечения.

Так была построена нами линия влияния изгибающего момента Мк для балки на двух опорах.

Сегодня в теме занятия вы посмотрели видео урок на тему «Линия влияния изгибающего момента Mk» и к нему конспект лекции или практического занятия, тут уж сами решайте как вы это назовете ;-).

Напомню, что в предыдущем видео уроке нами был сделан вывод и построение линии влияния поперечной силы Qк.


Огромная просьба написать комментарии, сказать что понравилось, или что не понравилось. Что было понятно, а что нет! Для меня очень важно получить обратную связь, а для сайта — комментарии помогают его продвигать. Таким образом ваши комментарии помогают  увидеть этот сайт большему количеству людей.

Спасибо!

Напишите комментарий!